Question

【題目】已知數列中，，點（）在直線y = x上，

（Ⅰ）計算a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求證：數列{bn}是等比數列；

（Ⅲ）設Sn、Tn分別為數列{an}、{bn}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列為等差數列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）存在λ=2.

【解析】試題分析：（1）根據點在直線 上，可得，代入計算可得的值；（2）利用，及，即可證明數列是等比數列；（3）求得數列的前三項，求得 ，再驗證即可求得結論.

試題解析：（Ⅰ）由題意，∵點（n，2an+1﹣an）在直線y=x上，

∴2an+1﹣an=n

∵，∴，

同理，，；

（Ⅱ）證明：∵bn=an+1﹣an﹣1，2an+1﹣an=n

∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=（an+1﹣an﹣1）=bn，

∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣

∴數列{bn}是以﹣為首項，為公比的等比數列；

（Ⅲ）解：存在λ=2，使數列是等差數列．

由（Ⅱ）知，，，

∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+，∴an=n﹣2+，

∴Sn==

由題意，要使數列是等差數列，則

∴2×=﹣λ+，∴λ=2

當λ=2時， =，數列是等差數列

∴當且僅當λ=2時，數列是等差數列．