Question

已知集合S中的元素是正整數，且滿足命題“如果x∈S，則（10-x）∈S”；
（1）分別寫出只有二個元素的集合S和只有三個元素的集合S；
（2）集合S共有多少個？

Answer 1

分析：（1）根據題中所給的條件，只有二個元素的集合中兩個元素的和必定為10，只有三個元素的集合中必有一個元素是5，另外兩個元素之和為10，從而寫出滿足要求的集合即可；
（2）從集合中元素的個數進行分類：如只有一個元素的是{5}；只有二個元素的集合；只有三個元素的集合；只有四個元素的集合；…由于集合中元素可以無窮多個，從而得出符合要求的集合可以有無窮多個．

解答：解：（1）只有二個元素的集合中兩個元素的和必定為10，
可以是：S={1，9}等；
只有三個元素的集合中必有一個元素是5，另外兩個元素之和為10，
故可以是：S={5，1，9}等；
（2）集合S共有無窮多個．
如只有一個元素的是{5}共一個；
只有二個元素的集合可以是：S={1，9}或{2，8}或{3，7}或{4，6}共四個；
只有三個元素的集合可以是：S={5，1，9}或{5，2，8}或{5，3，7}或{5，4，6}共四個；
只有四個元素的集合可以是：S={2，8，1，9}或{3，7，2，8}或{4，6，3，7}或{1，9，4，6}等共六個；
只有五個元素的列舉出來共六個
只有六個元素的有四個
只有七個元素的有四個
有八個元素的有一個，
有九個元素的有一個
綜上知，共有1+4+4+6+6+4+4+1+1=31個

點評：本小題主要考查進行簡單的合情推理、集合的表示法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想．屬于基礎題．