Question

已知橢圓C: +=1,F₁、F₂為其左、右兩個(gè)焦點(diǎn),能否在橢圓C上找到一點(diǎn)M,使M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是|MF₁|與?|MF₂|?的比例中項(xiàng)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析:設(shè)|MN|=t>0,由橢圓的第二定義,|MF₁|=e|MN|=et,又由橢圓的第一定義,|MF₁|+|MF₂|= a,

∴|MF₂|=2a-et.

設(shè)點(diǎn)M存在,則|MN|²=|MF₁|·|MF₂|,?

即t²=et(2a-et).?

由t≠0,得t==.

橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的最短距離是橢圓左頂點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離,即-a=4-2=2.

由于|MN|=t=<2,故點(diǎn)M不存在.