Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）試判斷F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在[1，+∞）上的單調性；
（2）當0＜a＜b時，求證函數f（x）（a≤x≤b）的值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）．

Answer 1

分析：（1）先得到F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2），由于不是基本函數，所以用導數法證明其單調性．
（2）本題即證明不等式即為lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

成立，由（1）知當x＞1時，F（x）＞F（1），又F（1）=0，可知F（x）＞0即（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，變形可得lnx＞

2x-2

x2+1

，令x=

b

a

構造不等式即可．

解答：解：（1）∵F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2），（1分）
∴F′(x)=2xlnx+(x2+1)•

1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

，（3分）
∴x＞1時F'（x）＞0，x=1時F'（x）=0；
∴函數F（x）在[1，+∞）上為增函數．（5分）
（2）由（1）知當x＞1時，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴lnx＞

2x-2

x2+1

（﹡）（9分）
令x=

b

a

，
∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1，（11分）
∴由（﹡）式得ln

b

a

＞

2• b a -2

( b a )2+1

，
即為lnb-lna＞

2ab-2a2

a2+b2

；（13分）
∵函數f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域為[lna，lnb]，
∴函數f（x）（a≤x≤b）的值域的長度為lnb-lna，（15分）
∴函數f（x）（a≤x≤b）的值域的長度大于

2a(b-a)

a2+b2

．（16分）

點評：本題主要考查函數的單調性的證明及應用，同時，還考查了構造和轉化思想，屬于難題．