Question

（2012•懷化二模）設x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求證：|g(x)|≤

a(3a+2)2

12

．

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據x₁=-1，x₂=2是函數f（x）的兩個極值點，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）根據x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，可知x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，從而x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，利用|x1|+|x2|=2

2

，可得b²=3a²（6-a），令h（a）=3a²（6-a），利用導數，即可求得b的最大值；
（3）根據x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，可得f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），根據x1•x2=-

a

3

，x2=a，可得x1=-

1

3

，進而有g(x)=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)，利用配方法即可得出結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁=-1，x₂=2是函數f（x）的兩個極值點，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0，
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x．-------------------（4分）
（2）∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，故有△=4b²+12a³＞0對一切a＞0，b∈R恒成立．
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，
∵a＞0，∴x₁•x₂＜0，
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

-------------------（6分）
由|x1|+|x2|=2

2

得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，∴0＜a≤6．
令h（a）=3a²（6-a），則h′（a）=36a-9a²．
當0＜a＜4時，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）內是增函數；
當4＜a＜6時，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）內是減函數；
∴當a=4時，h（a）是極大值為96，
∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是4

6

．…（8分）
（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根．∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）
∵x1•x2=-

a

3

，x2=a，∴x1=-

1

3

∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|…（10分）
∵x₁＜x＜x₂，
∴g(x)=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)═-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)
=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

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點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值、單調性，考查不等式的證明，正確求導，理解極值的意義是解題的關鍵．