Question

已知橢圓的離心率，且右焦點F到左準線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知B為橢圓C在y軸的左測上一點，線段BF與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，且滿足，求p的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知離心率及點F到準線的距離，列方程即可得a、b、c的值；（2）設B（x，y），A（x_A，y_A），利用向量相等的意義得兩點坐標間的關系，分別代入橢圓和拋物線方程即可得p關于
x的函數，利用換元法求值域即可
解答：解：（1）∵的離心率，∴．①
而右焦點到左準線之距．②
又a²=b²+c²     ③
由①②③解之得，b=1．
從而所求橢圓方程為．
（2）橢圓的右焦點為F（1，0），點B在橢圓上，
設B（x，y），其中，設A（x_A，y_A）
由，得（x-x_A，y-y_A）=2（x_A-1，y_A）
∴．
由點A在拋物線y²=2px上，得．
又，
∴．
令t=x+2，則，
即．
∵．∴（當且僅當時取“=”）．
∴．
又當時，為橢圓在y軸左側上的點．
故p的最大值為．
點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何性質，拋物線的標準方程，利用函數求最值的思想方法，向量在解析幾何中的應用