Question

11．已知函數f（x）=lnx+ax²（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實數．
（1）若$a=-\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值；
（2）若b=2，且直線$y=g（x）-\frac{3}{2}$是曲線y=f（x）的一條切線，求實數a的值；
（3）若a＜0，且$b-a=\frac{1}{2}$，函數h（x）=f（x）-g（2x）有且只有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值問題；
（2）設出切點坐標，表示出切線方程，得到lnx₀-x₀+1=0，設t（x）=lnx-x+1，x＞0，根據函數的單調性求出a的值即可；
（3）通過討論a的范圍，求出函數的單調性，結合函數h（x）=f（x）-g（2x）有且只有兩個不同的零點，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，x＞0，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-x=-\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
令f'（x）=0，x=1，…（2分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$-\frac{1}{2}$	↘

從上表可知，當x=1時，f（x）取得極大值，且是最大值，
∴f（x）的最大值是$-\frac{1}{2}$．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（4分）
（2）由題意，直線$y=2x-\frac{3}{2}$是曲線y=lnx+ax²的一條切線，
設切點$（{x_0}，ln{x_0}+a{x_0}^2）$，∴切線的斜率為$f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}+2a{x_0}$，
∴切線的方程為$y-（ln{x_0}+a{x_0}^2）=（\frac{1}{x_0}+2a{x_0}）（x-{x_0}）$，
即$y=（\frac{1}{x_0}+2a{x_0}）x+ln{x_0}-1-a{x_0}^2$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x_0}+2a{x_0}=2}\\{ln{x_0}-1-a{x_0}^2=-\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$…（6分）
∴lnx₀-x₀+1=0，
設t（x）=lnx-x+1，x＞0，∴$t'（x）=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$，
當x∈（0，1）時，t'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，t'（x）＜0，
∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）_max=t（1）=0，
∵t（x₀）=0，∴x₀=1，此時$a=\frac{1}{2}$．                              …（10分）
（3）∵$b-a=\frac{1}{2}$，
∴$h（x）=f（x）-g（2x）=lnx+a{x^2}-（a+\frac{1}{2}）（2x）=lnx+a{x^2}-（2a+1）x$，x＞0，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}+2ax-（2a+1）=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
（ⅰ）當-1≤a≤0時，
當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，
∴函數h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，
∴h（x）≤h（1）=-1，函數h（x）在區間（0，+∞）上無零點，…（12分）
（ⅱ）當a＜-1時，
令h'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2a}＜0$，x₂=1，
由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x-1，
∴$h（-\frac{1}{2a}）=ln（-\frac{1}{2a}）+\frac{3}{4a}+1≤-\frac{1}{2a}-1+\frac{3}{4a}+1=\frac{1}{4a}＜0$，其中$-\frac{1}{2a}∈（0，\frac{1}{2}）$，
又h（1）=-a-1＞0，且函數h（x）在（0，1）上不間斷，
∴函數h（x）在（0，1）上存在零點，
另外，當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，
故函數h（x）在（0，1）上是單調減函數，
∴函數h（x）在（0，1）上只有一個零點，
∵h（2）=ln2+a×2²-（2a+1）×2=ln2-2＜0，
又h（1）=-a-1＞0，且函數h（x）在（1，+∞）上不間斷，
∴函數h（x）在（1，+∞）上存在零點，
另外，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，
故函數h（x）在（1，+∞）上是單調增函數，
∴函數h（x）在（1，+∞）上只有一個零點，
∴當-1≤a≤0時，h（x）在區間（0，+∞）上無零點，
當a＜-1時，h（x）在區間（0，+∞）上恰有2個不同的零點，
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，-1）．  　　　　               …（16分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．