Question

已知橢圓C的對稱軸在坐標軸上，且過點(2

2

，-

1

3

)，(

5

，

2

3

)．設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標．

Answer 1

分析：設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把兩點坐標代入可得方程組，解出即可求得橢圓方程，聯立直線與橢圓方程構成方程組，消掉y得x的二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點為M（x₀，y₀），由韋達定理及中點坐標公式即可求得x₀，代入直線方程即可求得y₀．

解答：解：設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由題意得，

m(2 2 )2+n(- 1 3 )2=1 m( 5 )2+n( 2 3 )2=1

，即

8m+ 1 9 n=1 5m+ 4 9 n=1

，解得m=

1

9

，n=1，
所以橢圓的標準方程是：

x2

9

+y2=1．
聯立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點為M（x₀，y₀），
則x1+x2=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y₀=x₀+2=

1

5

．
故線段AB中點坐標為（-

9

5

，

1

5

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，韋達定理及中點坐標公式是解決該類題目的基礎，要熟練掌握．