Question

已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)恰好在直線上，求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

Answer 1

(I) .（II）

解析試題分析：(I)由題意得，，所以，所求橢圓方程為.
(II)設(shè)，把直線代入橢圓方程得到
，因此，，
所以中點(diǎn)，又在直線上，得，
， 故，，
所以，原點(diǎn)到的距離為，
得到，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號，檢驗(yàn)成立.
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用。
點(diǎn)評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）利用弦長公式，確定得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用均值定理求得最大值。