Question

（2012•�？谀�擬）焦點在x軸上，離心率為

2

2

的橢圓經過點（

6

，1）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的一個焦點且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程，利用離心率為

2

2

的橢圓經過點（

6

，1），建立方程，從而可求橢圓方程；．
（2）問題等價于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值問題，分類討論，利用韋達定理求得弦長，化簡，即可得到結論．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵離心率為

2

2

的橢圓經過點（

6

，1）．
∴

a2-b2

a2

=

1

2

，

6

a2

+

1

b2

=1，
∴a²=8，b²=4，故橢圓方程是

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）問題等價于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值問題．
橢圓的焦點坐標是（±2，0），不妨取焦點（2，0），當直線AB的斜率存在且不等于零時，
設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程是y=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

-8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-8

1+2k2

．
根據弦長公式，|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

1+2k2

以-

1

k

代換k，得|CD|=

4 2 (1+ 1 k2 )

1+ 2 k2

=

4 2 (1+k2)

k2+2

所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3(k2+1)

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

即|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|．
當直線AB的斜率不存在或等于零時，|AB|，|CD|一個是橢圓的長軸長度，一個是通徑長度，
此時

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

+

2 2

8

=

3 2

8

，即|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|．
綜上所述，故存在實數λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．