Question

已知函數f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（Ⅱ）函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）先將三角函數化簡為y=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，再由T=

2π

2

=π．可得三角函數的最小正周期的答案，根據2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得單調區間．
（2）根據三角函數的平移變換可得答案．

解答：解：（I）f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+(1+cos2x)
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（II）先把y=sin2x圖象上所有點向左平移

π

12

個單位長度，得到y=sin(2x+

π

6

)的圖象，
再把所得圖象上所有的點向上平移

3

2

個單位長度，就得到y=sin(2x+

π

6

)+

3

2

的圖象．

點評：本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數的圖象和性質等基本知識，以及推理和運算能力．