Question

已知以拋物線y²=4x過焦點的弦為直徑且圓心在第四象限的圓截y軸所得弦長為4，那么該圓的方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：設直線與拋物線的交點坐標（x₁，y₁），（x₂，y₂），由拋物線定義可得半徑r與圓心（x，y）的關系，再由圓截y軸弦長和勾股定理得r與與圓心（x，y）的關系，從而解得r和x．再設過焦點的直線方程為x=ay+1，聯立拋物線方程，分別消去x，y得到x、y和a的關系，從而求出結果．
解答：解：設過焦點的直線與拋物線交點A、B坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
圓心C即AB的中點（x，y），
由拋物線定義得，|AB|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=2x+2，
∴r=x+1，
∵圓截y軸所得的弦長為4
∴由勾股定理得，r²=4+x²，即，
解得x=，∴r=，
設過焦點的直線方程為x=ay+1，則，
消去x得y²-4ay-4=0，∴y₁+y₂=4a，即y=2a
消去y得x²-（2+4a²）x+1=0，∴x₁+x₂=2+4a²，
即x=1+2a²=，解得a=±，
∵圓心在第四象限，∴a=-，
∴y=2a=-1，所以該圓的方程是（x-）²+（y+1）²=．
故答案為：（x-）²+（y+1）²=．
點評：本題考查圓的方程的求法，具體涉及到拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系、焦點弦公式等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．