Question

（2012•湖北模擬）設f(x)=4cos2x•cos(2x+

π

3

)-1．
（1）求f（x）的最小值及此時x的取值集合；
（2）把f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后所得圖象關于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為2cos(4x+

π

3

)，由此求得f（x）的最小值及此時x的取值集合．
（2）先求出平移后函數due解析式，根據圖象關于直線x=0對稱，故有-4m+

π

3

=kπ，k∈Z，由此求得正數m的最小值

解答：解：（1）∵f(x)=4cos2x•(cos2x•

1

2

-sin2x•

3

2

)-1=2cos22x-2

3

sin2x•cos2x-1
=cos4x-

3

sin4x=2cos(4x+

π

3

)，（4分）
∴f（x）的最小值為-2，此時4x+

π

3

=2kπ+π，k∈Z，（6分）
∴x的取值集合為：{x|x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z}．（7分）
（2）f（x）圖象向右平移m個單位后所得圖象對應的解析式為
y=2cos[4(x-m)+

π

3

]=2cos(4x-4m+

π

3

)，（9分）
其為偶函數，那么圖象關于直線x=0對稱，故有：-4m+

π

3

=kπ，k∈Z
∴m=

π

12

-

kπ

4

，所以正數m的最小值為

π

12

．（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．