Question

【題目】已知函數，（為自然對數的底數）.

（1）討論函數在定義域內極值點的個數；

（2）設直線為函數的圖象上一點處的切線，證明：在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數無極值點，當時，函數有兩個極值點（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數求導得，令，分類討論有無零點以及零點與、的相對位置即可得解；

（2）由題意可得切線的方程可表示為，設直線與曲線相切于點，由題意可得，進而可得，由（1）中結論即可證明在上存在唯一的根，即可得證.

（1）由題意且，

則，

令，，

①當即時，，

此時，在和單調遞增，無極值點；

②當時，即當或時，

函數有兩個零點，

，，

（i）當時，

因為，

所以，

所以函數在單調遞增，在和上單調遞減，在上單調遞增，此時函數有兩個極值點；

（ii）當時，因為，

所以，此時，在和單調遞增，無極值點.

綜上所述，當時，函數無極值點，當時，函數有兩個極值點.

（2）證明：因為，所以切線的方程可表示為，

設直線與曲線相切于點，

因為，所以，

消去并整理得，

由（1）可知，當時，函數在單調遞增，

又，.

所以函數在上有唯一的零點，

又因為在單調遞增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.