Question

若函數f（x）與g（x）=2^-x互為反函數，則f（x-3x²）的單調遞增區間是

[

1

6

，

1

3

)

．

Answer 1

分析：先求出f（x）的解析式，可得f（x-3x²）=log₂

1

x-3x2

．令t=x-3x²＞0，可得 0＜x＜

1

3

，本題即求函數t在（0，

1

3

）上的減區間，利用二次函數的性質可得t在（0，

1

3

）上的減區間，從而得到答案．

解答：解：由于函數f（x）與g（x）=2^-x互為反函數，故有f（x）=-log₂x=log2

1

x

，
故有 f（x-3x²）=log₂ 

1

x-3x2

．
令t=x-3x²＞0，可得 0＜x＜

1

3

，故函數f（x-3x²）的定義域為（0，

1

3

）．
由復合函數單調性的性質知，本題即求函數t在（0，

1

3

）上的減區間，利用二次函數的性質可得t在（0，

1

3

）上的減區間為 [

1

6

，

1

3

)，
故答案為 [

1

6

，

1

3

)．

點評：本題主要考查求一個函數的反函數，二次函數的性質應用，復合函數的單調性，屬于中檔題．