Question

5．已知定義在R上函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$對任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，那么a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{7}$，1）

Answer 1

分析 根據函數的單調性定義可知函數f（x）在R上為減函數，再根據函數的解析式得到關于a的不等式組，解得即可．

解答 解：對任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴函數f（x）在R上為減函數，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{7a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
故選：C

點評 本題考查了函數的單調性的定義和分段函數的問題，以及不等式的解法，屬于中檔題．