Question

設拋物線＝2p(x＋)(p＞0)的準線和焦點分別是雙曲線的右準線和右焦點，直線y＝kx與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于點A、B，且A為OB的中點,O為坐標原點)．

　　

(Ⅰ)當k＝時，求雙曲線漸近線的斜率；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若雙曲線的一條漸近線在y軸上的截距為，求拋物線和雙曲線的方程；

(Ⅲ)設拋物線的頂點為M，拋物線與直線的另一交點為C，是否存在實數k，使得△ACM的面積等于直線MA、MC的斜率翟乘積的絕對值？若存在，求出k值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)將y＝x代入，解得點A的坐標為(p，2p)． 　　∵A是OB的中點，∴點B的坐標為(3p，4p)． 　　設點B到準線的距離為BH，則由雙曲線定義，得 　　e＝． 　　∴雙曲線漸近線的斜率為． 　　(2)設雙曲線中心為(－c，0)，則雙曲線的一條漸近線方程為 　　y＝(x＋c)． 　　令x＝0，得； 　　∴c＝5，a＝4，b＝3． 　　∴雙曲線方程為＝1 　　又雙曲線的右準線為x＝－p，－p＋5＝． 　　∴拋物線方程為 　　(3)拋物線的頂點坐標為(－，0)． 　　設直線與拋物線的交點坐標為A()，C()．聯立方程組 　　 　　． 　　則＝－4， 　　 　　　　 ＝ 　　　　 ＝． 　　由題意知：． 　　∴當64－＞0，即0＜p＜時，存在滿足題設條件的實數k＝±； 　　當64－≤0時，k不存在．