Question

（2006•西城區(qū)一模）已知數列{a_n}滿足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n項和S_n=

a

1-a

(1-an)．
（Ⅰ）求證：{a_n}為等比數列；
（Ⅱ）記b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n為數列{b_n}的前n項和．
（i）當a=2時，求

lim

n→∞

Tn

bn

；
（ii）當a=-

7

3

時，是否存在正整數m，使得對于任意正整數n都有b_n≥b_m？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1和等比數列的定義即可得出；
（II）（i）利用（I）可得b_n，再利用“錯位相減法”可得T_n，再利用極限的求法即可得出．
（ii）對n分奇數、偶數討論，再求出b_2k+2-b_2k＞0時的k的值即可．

解答：證明：（I）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

a

1-a

(1-an)-

a

1-a

(1-an-1)
整理得：

an

an-1

=a，
∴{a_n}是公比為a的等比數列，
又a₁=a，∴an=an．
（II）因為an=an，bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|
（i）當a=2時，Tn=(2+2•22+…+n•2n)lg2，
2Tn=[22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1]lg2，
兩式相減，整理得：Tn=2[1-(1-n)•2n]lg2，
所以，

lim

n→∞

Tn

bn

=2(

1

n•2n

-

1

n

+1)=2，
（ii）∵-1＜a＜0，
∴當n為偶數時，bn=nanlg|a|＜0；
當n為奇數時，bn=nanlg|a|＞0．
∴如果存在滿足條件的正整數m，則m一定是偶數．
b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-

a2

1-a2

)lg|a|，(k∈N*)，
當a=-

7

3

時，a2-1=-

2

9

∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0
又

a2

1-a2

=

7

2

，所以，當k＞

7

2

時，b_2k+2＞b_2k
即b₈＜b₁₀＜b₁₂＜…
當k＜

7

2

時，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂
即存在正整數m=8，使得對于任意正整數n都有b_n≥b₈．

點評：熟練掌握“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、等比數列的定義及其通項公式和前n項和公式、“錯位相減法”極限的運算法則、分類討論的思想方法、數列的單調性等是解題的關鍵．