Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E為梯形內一點，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到△DCF，連EF交CD于M，若BC=5，CF=3，則在下列四個結論中：①CE∥DF；②△DMF是等腰三角形；③EF平分∠CFD；④DM：MC=4：3．正確結論的序號是________．

Answer 1

①③④
分析：在直角梯形中，可得∠ECD=∠CDF，進而可得CE∥DF；但不能得出△MDF為等腰三角形；
可由∠CFE=∠EFD得EF平分∠CFD；由△CME∽△DMF，可得DM：MC=DF：CE=4：3．
解答：∵△BEC繞C點旋轉90°得到△DCF，∴△BEC≌△DCF，∠BCE=∠DCF
∵∠BCD=90°，AD∥BC，即∠BCE+∠ECD=90°，∠DCF+∠CDF=90°，
∴∠ECD=∠CDF，∴CE∥DF，①正確；
②中假設MF=MD，則∠MDF=∠MFD，
∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，
∵∠MFD+∠EFC=90°，∠FEC+∠ECF=∠DMF≠90°，所以假設不成立，②不對；
∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，由①得，CE∥DF，
∴∠CEF=∠EFD，∴∠CFE=∠EFD即EF平分∠CFD，③正確；
BC=5，即CD=5，CF=3，在Rt△CDF中，則DF=4，
由△CME∽△DMF，可得DM：MC=DF：CE=4：3，④正確．
故正確的結論為：①③④．
點評：掌握直角梯形的性質，能夠運用直角梯形的性質求解一些線段的平行，相等問題．