Question

求滿足下列條件的曲線的標準方程：
（1）對稱軸是x軸，并且頂點到焦點的距離等于8的拋物線；
（2）a=10，e=

3

5

，焦點在x軸上的橢圓；
（3）到點（0，-10），（0，10）距離之差的絕對值為16的雙曲線．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，設出拋物線的標準方程，求出p，由此能求出拋物線方程；
（2）由已知條件，設出橢圓的標準方程，由已知條件分別求出a，b，由此能求出橢圓方程；
（3）利用雙曲線的定義，根據已知條件能求出雙曲線的方程．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸是x軸，
∴設拋物線方程為y²=2px，p＞0，或y²=-2px，p＞0，
∴拋物線的頂點到焦點的距離等于8，
∴

p

2

=8，解得p=16，
∴拋物線方程為y²=32x，或y²=-32x．
（2）∵橢圓焦點在x軸上，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵a=10，e=

3

5

，
∴c=6，b²=10²-6²=64，
∴橢圓方程為

x2

100

+

y2

64

=1．
（3）∵雙曲線上的點到點（0，-10），（0，10）距離之差的絕對值為16，
∴雙曲線的焦點在y軸上，且c=10，2a=16，
∴b2=102-(

16

2

)2=36，
∴雙曲線方程為

y2

64

-

x2

36

=1．

點評：本題考查拋物線、橢圓、雙曲線的性質及其應用，解題時要認真審題，熟練掌握拋物線、橢圓、雙曲線的基礎知識．