Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=2，求得 m=1．再根據(jù)根據(jù)它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足f（-x）=-f（x），
可得函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，計(jì)算求得f（x₂）-f（x₁）＞0，可得f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2，∴1+m=2，解得 m=1．
函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
證：∵f(x)=x+

1

x

，定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱．
又f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，所以y=f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，則f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)．
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，1-

1

x1x2

＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．