Question

設集合A={（x，y|x=m，y=3m+1，m∈N}，B={（x，y）|x=n，y=a（n²-n+1），n∈N}，問是否存在正整數a，使得A∩B≠∅？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先假設存在a，則可以得出關于x的方程a（x²-x+1）=3x+1有自然數解，然后求出3x+1≥x²-x+1，進而求得x得范圍，最后代入求出a的值．

解答：解：由題意得：A={（x，y）|y=3x+1，x∈N}，B={（x，y）|y=a（x²-x+1），x∈N}，
假設存在正整數a，使得A∩B≠∅，即關于x的方程a（x²-x+1）=3x+1有自然數解
∵x²-x+1＞0，∴a=

3x+1

x2-x+1

∵a為正整數，∴3x+1≥x²-x+1，解得0≤x≤4，∵x∈N，x可取0，1，2，3，4．
代入驗證可得，當x=0或x=4時，a=1；當x=1時，a=4．∴a=1或a=4．
所以存在正整數a為1或4時，使得A∩B≠∅．

點評：此題考查了交集的定義，根據題意得出方程a（x²-x+1）=3x+1有自然數解是解題的關鍵．