Question

以一張半徑為R，圓心角為α（0＜α＜2π）的扇形紙片做材料，如圖從中裁下一個扇形，做成一個漏斗（無底），裁下的扇形的圓心角為多大時，做成的漏斗體積最大？

Answer 1

分析：設裁下的扇形的圓心角為x，做成的漏斗的底面半徑為r，求得做成的漏斗體積表達式，利用導數法可求得做成的漏斗體積最大值．

解答：解：設裁下的扇形的圓心角為x，做成的漏斗的底面半徑為r，則Rx=2πr，
V=

1

3

πr²

R2-r2

=

1

3

π(

Rx

2π

)2

R2-( Rx 2π )2

=

R3

24π2

4π2x4-x6

，
令g（x）=4π²x⁴-x⁶，
g′（x）=2x³（8π²-3x²）=0，
∴x=

2 6

3

π．
∴g（x）在（0，

2 6

3

π）上單調遞增，在（

2 6

3

π，+∞）上單調遞減，
∴當α≥

2 6

3

π時，裁下的扇形的圓心角為

2 6

3

π．
當當α＜

2 6

3

π時，此扇形不必裁剪．

點評：本題考查扇形的面積公式，考查導數的應用，考查函數與方程思想，考查分類討論思想，屬于難題．