Question

已知數列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0；數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+3）；
（Ⅰ）求證：數列{a_n+3}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式，并求數列{a_n}的前n項和S_n
（Ⅲ）求數列{b_n}的前n項和T_n，并判斷T_n與n³的大小（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1-2a_n-3=0，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），可得數列{a_n+3}是等比數列；
（II）由（I）利用等比數列的通項公式即可得出a_n，進而利用等比數列的前n項和公式即可得出；
（III）由（II）可得b_n=n，利用等差數列的前n項和公式即可得出T_n，再利用“作差法”即可比較出T_n與n³的大小．

解答：解：（I）由a_n+1-2a_n-3=0，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），
∴數列{a_n+3}是以a₁+3=2為首項，2為公比的等比數列；
（II）由（I）可得：an+3=2×2n-1，
∴an=2n-3．
∴Sn=(2+22+…+2n)-3n=

2(2n-1)

2-1

-3n=2ⁿ⁺¹-2-3n．
（III）bn=log2(2n-3+3)=n．
∴T_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴n³-T_n=

2n3-n2-n

2

=

n(2n+1)(n-1)

2

，
當n=1時，1³=T₁；
當n≥2時，n³＞T_n．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式、可化為等比數列的數列的通項公式的求法、“作差法”比較兩個數的大小等基礎知識與基本技能南方，屬于難題．