Question

設各項均為實數的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁₀=10，S₃₀=70，則S₄₀等于（　　）

• A、150
• B、-200
• C、150或-200
• D、400或-50

Answer 1

分析：根據等比數列的前n項和的公式化簡S₁₀=10，S₃₀=70，分別得到關于q的兩個關系式，兩者相除即可求出公比q的10次方的值，然后利用等比數列的前n項和的公式表示S₄₀比S₁₀的值，把q的10次方的值代入即可求出比值，根據比值即可得到S₄₀的值．

解答：解：根據等比數列的前n項和的公式化簡S₁₀=10，S₃₀=70得：
S₁₀=

a(1-q10)

1-q

=10，S₃₀=

a(1-q30)

1-q

=70，
則

S30

S10

=

1-q30

1-q10

=

(1-q10)(1+q10+q20)

1-q10

=7，得到1+q¹⁰+q²⁰=7，
即（q¹⁰）²+q¹⁰-6=0，解得q¹⁰=-3（舍去），q¹⁰=2，
則

S40

S10

=

a(1-q40) 1-q

a(1-q10) 1-q

=

1-(q10)4

1-q10

=

1-24

1-2

=15，
所以S₄₀=15S₁₀=150．
故選A

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題．