Question

利用基本不等式求y=

x

x2+2

的最值？當0＜x＜1時，如何求y=

x+1

x2+2

的最大值．

Answer 1

分析：將y=

x

x2+2

，當x=0時，y=0，當x≠0時，y=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

，當x＞0時，0＜y≤

2

4

，當x＜0時，-

2

4

≤y＜0，可以得出-

2

4

≤y≤

2

4

，得出最值即可，同理對y=

x+1

x2+2

進行變行求最值．

解答：解：（1）當=0時，y=0，
當x≠0時，y=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

，
用基本不等式
若x＞0時，0＜y≤

2

4

，
若x＜0時，-

2

4

≤y＜0，
綜上得，可以得出-

2

4

≤y≤

2

4

，
∴y=

x

x2+2

的最值是-

2

4

與

2

4

．
（2）y=

x+1

x2+2

=

x+1

(x+1)2-2(x+1)+3

∵0＜x＜1
∴1＜x+1＜2
∴y=

x+1

x2+2

=

1

(x+1)-2+ 3 x+1

≤

1

2 3 -2

=

3 +1

4

等號當且僅當x=

3

-1成立．
綜上，y=

x

x2+2

的最值是-

2

4

與

2

4

．當0＜x＜1時，y=

x+1

x2+2

的最大值是

3 +1

4

．

點評：本題通過構造形式用基本不等式求最值，訓練答題都觀察、化歸的能力．