Question

16．若關于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，則a的取值范圍是（-∞，12]．

Answer 1

分析 分離參數a，把不等式變形為a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，只需a小于等于x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|的最小值即可

解答 解：關于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，
∴a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，
而x+$\frac{36}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$=12，當且僅當x=6∈[2，10]時取等號，
且|x²-6x|≥0，等號當且僅當x=6∈[1，10]時成立；
所以x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x||的最小值為12，等號當且僅當x=6∈[2，10]時成立．
故實數a的取值范圍是（-∞，12]．
故答案為：（-∞，12]．

點評 本題主要考查了函數恒成立問題以及絕對值不等式的解法、基本不等式在最值問題中的應用，本題中要注意等號須同時成立．