Question

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列4個函數：①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cos

π

2

x；④f（x）=e^x．其中存在“穩定區間”的函數有（　�。�

A．①③

B．①②③④

C．②④

D．①②③

Answer 1

分析：根據“穩定區間”的定義，我們要想說明函數存在“穩定區間”，我們只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“穩定區間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=（x-1）²存在“穩定區間”，
如當0＜x＜1時，0＜y＜1．“穩定區間”：[0，1]；
②中，由冪函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數f（x）=|2^x-1|的“穩定區間”；
③中，由余弦型函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數 f（x）=cos

π

2

x的“穩定區間”；
④中，若f（x）=e^x存在“穩定區間”
則e^a+1=a，e^b+1=b
即e^x=x-1有兩個解，即函數y=e^x與函數y=x-1的圖象有兩個交點，
這與函數y=e^x與函數y=x-1的圖象沒有交點相矛盾，故假設錯誤，
即f（x）=e^x不存在“穩定區間”
故選D．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“穩定區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵．