Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，從圓O外一點P引圓O的切線PA和割線PBC．
（1）求證：PA²=PB•PC．
（2）已知PA=2

2

，PC=4，圓心O到BC的距離為

3

，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接AC，AB．由于PA是⊙O的切線，利用弦切角定理可得∠PAB=∠PCA，又∠P公用，可得△PCA∽△PBA．利用相似三角形的性質即可得出；
（2）利用（1）可得BC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，利用垂徑定理可得BD=DC=1．再利用勾股定理可得OB．

解答：（1）證明：如圖所示，
連接AC，AB．∵PA是⊙O的切線，∴∠PAB=∠PCA，又∠P為公共角．
∴△PCA∽△PBA．∴

PC

PA

=

PA

PB

，即PA²=PB•PC．
（2）由PA²=PB•PC，得(2

2

)2=4PB，解得PB=2．∴BC=PC-PB=2．
過點O作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，則BD=DC=1．
又圓心O到BC的距離為

3

，∴OB=

OD2+BD2

=2．

點評：熟練掌握圓的切線性質、垂徑定理、相似三角形的性質、勾股定理等是解題的關鍵．