Question

（2013•靜安區一模）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A、B、C所對的邊長，a，b，c成等比數列．
（1）求B的取值范圍；
（2）若x=B，關于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的性質，結合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范圍；
（2）關于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，等價于關于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）＞-m恒成立，求出左邊的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵a、b、c成等比數列，∴b²=ac（1分）
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

（3分）
∵a²+c²≥2ac，∴cosB=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，等號當且僅當a=c時取得，
∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤

π

3

．（7分）
（2）關于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）+m＞0恒成立，等價于關于x的不等式cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）＞-m恒成立，
cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）=cos2x-4sin（

π

4

+

x

2

）cos（

π

4

+

x

2

）
=2cosx²-2cosx-1=2（cosx-

1

2

）²-

3

2

（11分）
∵x=B，∴

1

2

≤cosx＜1
∴2（cosx-

1

2

）²-

3

2

≥-

3

2

由題意有：-m＜-

3

2

，即m＞

3

2

（14分）
（說明：這樣分離變量m＞2cosx-cos2x=-2cos²x+2cosx+1參照評分）

點評：本題考查等比數列的性質，考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，正確求最值是關鍵．