Question

已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求的最小值；
（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）的最小值為1；（2）實數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先對求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最小值為1；
（2）不等式恒成立，變形為，構(gòu)造新函數(shù)；求得的最小值，
從而實數(shù)的取值范圍是．
試題解析：（1）的導(dǎo)函數(shù)，令，解得；
令，解得.
從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
所以，當時，取得最小值1.                       6分
（2）因為不等式的解集為，且，
所以對于任意，不等式恒成立.
由，得.
當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.
將變形為.
令，則的導(dǎo)函數(shù)，
令，解得；令，解得.
從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
所以，當時，取得最小值，
從而實數(shù)的取值范圍是.                       13分