Question

已知二次函數y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設．
（1）若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，2）的距離的最小值為，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數y=f（x）-kx存在零點，并求出零點．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據二次函數的頂點式設出函數g（x）的解析式，然后對其進行求導，根據g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進而可確定函數g（x）、f（x）的解析式，然后設出點P的坐標，根據兩點間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根據（1）的內容得到函數y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對二次項的系數等于0進行討論，再當二次項的系數不等于0時，即為二次方程時根據方程的判別式進行討論即可得到答案．
解答：解：（1）依題可設g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，，
設P（x_o，y_o），則=
當且僅當時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值
當m＞0時，解得
當m＜0時，解得

（2）由（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
當k=1時，方程（*）有一解，函數y=f（x）-kx有一零點；
當k≠1時，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，，
函數y=f（x）-kx有兩個零點，即；
若m＜0，，
函數y=f（x）-kx有兩個零點，即；
當k≠1時，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，，
函數y=f（x）-kx有一零點
綜上，當k=1時，函數y=f（x）-kx有一零點；
當（m＞0），或（m＜0）時，
函數y=f（x）-kx有兩個零點；
當時，函數y=f（x）-kx有一零點．
點評：本題主要考查二次函數的頂點式、導數的幾何意義、函數零點與方程根的關系．主要考查基礎知識的綜合運用和學生的計算能力．