Question

已知函數f（x）＝ax³＋cx＋d（a≠0）是R上的奇函數，當x＝1時f（x）取得極值－2。

（1）求f（x）的單調區間和極大值；

（2）證明對任意x₁、x₂∈（－1，1），不等式|f（x₁）－f（x₂）|＜4恒成立。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：∵ 函數f（x）＝ax3＋cx＋d（a≠0）是R上的奇函數， ∴ f（－x）＝－f（x），x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d。∴ d＝0。 ∴ f（x）＝ax3＋cx。    ∴ f′（x）＝3ax2＋c。 ∵ f（1）＝－2為f（x）的極值，∴ f′（1）＝0。 ∴ 解得a＝1，c＝－3。f（x）＝x3－3x。 ∴ f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）， f′（－1）＝f′（1）＝0。 當x∈（－∞，－1）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區間（－∞，－1）上是增函數。 當x∈（－1，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在單調區間（－1，1）上是減函數。 當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區間（1，+∞）上是增函數。 ∴ f（x）x＝－1處取得極大值，極大值為f（－1）＝2。 （2）證明：由（1）知，f（x）＝x3－3x（x∈［－1，1］）是減函數，且f（x）在［－1，1］上的最大值M＝f（－1）＝2，f（x）在［－1，1］上的最小值M＝f（1）＝－2。 所以，對任意x1、x2∈（－1，1），恒有|f（x1）－f（x2）|＜M－m＝2－（－2）＝4。