Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點，若點P滿足

OP

+

OA

+

OB

=

0

（O為坐標原點），判斷點P是否在橢圓C上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線，聯立消去一個未知數，令△=0即可得到b．再利用橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形即可得到a=

2

b，即可得到a．
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯立即可解得點A，B的坐標，再利用點P滿足

OP

+

OA

+

OB

=

0

（O為坐標原點）即可得到點P的坐標，判斷是否滿足橢圓方程即可．

解答：解：（1）聯立

x-y-b=0 x2=4y

，消去y得到x²-4x+4b=0．
∵直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

．故所求的橢圓方程為

y2

2

+x2=1．
（2）由

y=x-1 y2 2 +x2=1

得3x²-2x-1=0，解得x1=1，x2=-

1

3

，
∴A(1，0)，B(-

1

3

，-

4

3

)，
設P（x，y），∵

OA

+

OB

+

OP

=

0

，
∴

OA

+

OB

+

OP

=(1-

1

3

+x，0-

4

3

+y)=（0，0），
解得x=-

2

3

，y=

4

3

，∴P(-

2

3

，

4

3

)，
把點P(-

2

3

，

4

3

)代入橢圓方程

y2

2

+x2=1，得

1

2

(

4

3

)2+(-

2

3

)2=

4

3

≠1，
∴點P不在橢圓C上．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相切相交問題、向量運算等是解題的關鍵．