Question

【題目】對于函數f(x)，若f(x0)＝x0，則稱x0為f(x)的“不動點”；若f[f(x0)]＝x0，則稱x0為f(x)的“穩定點”．函數f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f[f(x)]＝x}．

(1)設函數f(x)＝2x＋1，求集合A和B；

(2)求證AB.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1) 由f(x)＝x，解出x的值即集合A的元素; 由f[f(x)]＝x，解出x的值即集合B的元素;(2) 若A＝，則AB顯然成立；若A≠，設t為A中任意一個元素，由f[f(t)]＝f(t)＝t∈B，可得AB.

試題解析:

(1)由f(x)＝x，得2x＋1＝x，解得x＝－1；

由f[f(x)]＝x，得2(2x＋1)＋1＝x，解得x＝－1，

∴集合A＝{－1}，B＝{－1}．

(2)證明：若A＝，則AB顯然成立；

若A≠，設t為A中任意一個元素，則有f(t)＝t，

∴f[f(t)]＝f(t)＝t，故t∈B，

∴AB.