Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數列{a_n} 滿足：-

1

2

＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用數學歸納法證明：-

1

2

＜a_n＜0；
（3）判斷a_n與a_n+1（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，從而可得f（x）=3-4^x+2xln2在[-

1

2

，0]上是增函數，進而可求f（x）的最大值與最小值；
（2）當n=1時，由已知可知命題成立；假設當n=k時命題成立，即-

1

2

＜ak＜0成立，則當n=k+1時，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈(

5

2

-ln2，2)，故可得證．
（3）21+an+1-21+an=f(an)- 21+an，構造函數g（x）=f（x）-2^x+1，可證g（x）在[-

1

2

，0]上是減函數，從而可得21+an+1-21+an＞ 0，故得解．

解答：解：（1）f′（x）=（1-4^x）ln4…（1分）
當-

1

2

＜x＜0時，0＜1-4x＜

1

2

，∴f′（x）＞0
∴f（x）=3-4^x+2xln2在[-

1

2

，0]上是增函數，…（2分）
∴f（x）的最大值為：f（0）=2 …（3分）
f（x）的最小值為：f(-

1

2

)=

5

2

-ln2…（4分）
（2）①當n=1時，由已知可知命題成立；…（5分）
②假設當n=k時命題成立，即-

1

2

＜ak＜0成立，
則當n=k+1時，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈(

5

2

-ln2，2)
又

2

＜

5

2

-ln2＜21+ak+1＜2，
∴

1

2

＜1+ak+1＜1
∴-

1

2

＜ak+1＜0，
這就是說，當n=k+1時命題成立．…（7分）
由①，②可知，命題對于n∈N^*都成立．…（8分）
（3）21+an+1-21+an=f(an)- 21+an
記g（x）=f（x）-2^x+1，得g′（x）=f′（x）-2^x+1ln2=（1-2^x-4^x）ln4
當-

1

2

＜x＜0時，

2

2

＜2x＜1，

1

2

＜4x＜1
故1-2x-4x＜1-

2

2

-

1

2

＜0
所以g′（x）＜0，得g（x）在[-

1

2

，0]上是減函數，…（10分）
∴g（x）＞g（0）=f（0）-2=0
∴f(an)-21+an＞0
即21+an+1-21+an＞ 0
∴a_n+1＞a_n…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查數學歸納法，同時考查構造法的運用，解題的關鍵是正確運用導數研究函數的單調性與最值．