Question

（2012•棗莊一模）已知函數f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx，k∈R，e≈2.72．
（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）是否存在正整數k，使得f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導數，運用導函數在區間內的符號求出函數的單調區間．
（2）因為x＞0，所以可把k分離出來，得到k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

  (x＞0)，，把不等式右邊借助于求導求在給定區間上的最值，最后求出 k的范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（-1，+∞）
 當k=1時，f^′（x）=1+ln（x+1）+1-1，由f^′（x）＞0，得1+ln（x+1）＞0，即x＞e^-1-1，由 
f^′（x）＜0，得 1+ln（x+1）＜0，即-1＜x＜e^-1-1．
所以函數f（x）的增區間為（e^-1，+∞），減區間為（-1，e^-1-1）．
（2）假設存在正整數k使得f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，而f（x）＞0
?f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx＞0?k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

  (x＞0)，
令g（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

  (x＞0)，
則g′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

，設h（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
則h′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，所以函數h（x）在（0，+∞）單調遞增，
而h（2）=1-ln3＜0，h（3）=2-ln4＞0，
由零點存在定理，存在x₀∈（2，3），使得 h（x₀）=0，即1+ln（x₀+1）=x₀，又函數 h（x）
在（0，+∞）單調遞增，所以當x∈（0，x₀）時，h（x）＞h（x₀）=0，
從而當x∈（0，x₀）時，g′(x)=

h(x)

x2

＜0，當x∈（x₀，+∞）時，g′(x)=

h(x)

x2

＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值g（x）_min=g（x₀）=

(x0+1)[1+ln(x0+1)]

x0

=

(x0+1)x0

x0

=x₀+1．
因此f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立等價于k＜g（x）_min=x₀+1．由x₀∈（2，3），
知g（x）_min=x₀+1∈（3，4）．
所以存在正整數k，使得f（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，k的最大值為3．

點評：本題中的（2）運用了分離變量的思想方法，分離變量是求解字母范圍的常用方法；分式函數和簡單復合函數的求導法則應該掌握．