Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，
（2）若a=3，△ABC的面積為

3 3

2

，求

BA

•

AC

的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡整理，即可得到B；
（Ⅱ）運用三角形的面積公式和余弦定理，結合向量的數量積的定義，即可計算得到．

解答： 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinB•cosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0∴2cosB=1，

1

2

，
又0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（2）法一：∵a=3，△ABC的面積為

3 3

2

，
∴

1

2

•3c•sin

π

3

=

3 3

2

，
∴c=2，
b²=2²+3²-2×2×3cos

π

3

=7，
∴b=

7

，
∴cosA=

22+( 7 )2-32

2×2× 7

=

7

14

，
∴

BA

•

AC

=bccos（π-A）=2

7

×（-

7

14

）=-1．
法二：

BA

•

AC

=

BA

（

BC

-

BA

）
=|

BA

|•|

BC

|•cos＜

BA

，

BC

＞-|

BA

|2
=2×3×

1

2

-2²=-1．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理及面積公式的運用，考查平面向量的數量積的定義，考查運算能力，屬于中檔題．