Question

汶川特大地震造成多處嚴重威脅下游居民安全的堰塞湖，必須人工挖掘、爆破、攔截等方式來引流或疏通湖道，使其匯入主流流域或分散到水庫，以免造成洪災．經過對某堰塞湖的勘察，決定采用挖掘泄流槽來泄洪．

甲、乙兩位同學查閱相關資料獲知：泄流槽在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．他們分別設計了縱斷面如圖所示的設計方案：
甲的方案：過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC；
乙的方案：過水斷面為等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，
過水濕周l₂=AB+BC+CD；
若甲的△ABC面積和乙的梯形ABCD面積都是S．
（1）分別求l₁（2）和l₂（3）的最小值；（2）哪位同學的設計方案使得流量更大．

Answer 1

分析：（1）由已知中甲的△ABC面積和乙的梯形ABCD面積都是S，我們易求出l₁關于S的表達式，進而根據正弦函數的性質得到l₁的最小值，根據梯形的面積公式，結合基本不等式也可以得到l₂最小值．
（2）根據已知中泄流槽在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大，結合（1）中的結論，我們易得結論．

解答：解：（1）對于甲方案：∵S=

1

2

AB2×sinB，∴AB=

2S sinB

，l₁=2AB=2

2S sinB

∴當sinB=1，B=90°時，(l1)min=2

2S

．
對于乙方案：S=

1

2

(BC+AD)×h=

1

2

(BC+2×ABcos60°+BC)×ABsin60°=

3

4

(2BC+AB)×AB=

3

12

(2BC+AB)×3AB
≤

3

12

(

2BC+4AB

2

)2=

3

12

l22（等號當BC=2AB時成立）
∴l22≥4

3

S，(l2)min=2

3 S

（2）∵2

2S

＞2

3 S

，∴（l₁）_min＞（l₂）_min
∴乙同學設計的方案使得流量更大．

點評：本題考查的知識點是基本不等式，函數的最值，其中在求最值時，利用函數的性質，基本不等式，線性規劃，導數法，是最常用的四種方法，要根據實際選擇恰當的方法．