Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0）上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f（x）=0有三個(gè)實(shí)根x₁，2，x₂．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）試比較f（1）與2的大小，并說明理由；
（Ⅲ）求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)可知x=0時(shí)函數(shù)取到極大值即在導(dǎo)函數(shù)中自變量取零時(shí)函數(shù)值也取零得到n的值即可；
（Ⅱ）首先將f（1）化成關(guān)于m的式子，求出導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)根據(jù)增減性確定m的范圍，便可得到f（1）=-7-3m≥2；
（Ⅲ）由條件可得：f（x）=（x-x₁）（x-2）（x-x₂）=x³+mx²+p，
得到

-(2+x1+x2)=m -2x1x2=p

，進(jìn)而得到|x₁-x₂|=

(m-2)2-16

（m≤-3），所以|x₁-x₂|≥3．．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到極大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³+mx²+p
∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x²+2mx=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，x₂=-

2m

3

∵函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
∴x₂=-

2m

3

≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
（Ⅲ）由條件可得：f（x）=（x-x₁）（x-2）（x-x₂）                    
∴f（x）=x³-（2+x₁+x₂）x²+（2x₁+2x₂+x₁x₂）x-2x₁x₂．                       
∴

-(2+x1+x2)=m -2x1x2=p

，即

x1+x2=-m-2 x1x2=- 1 2 p=2m+4

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4m-12

=

(m-2)2-16

（m≤-3），
∴|x₁-x₂|≥3．

點(diǎn)評：此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn)．考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力．