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已知函數(shù)f(x)=x2+alnx(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線垂直y軸,求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)討論函數(shù)g(x)=f(x)-(a+2)x的單調(diào)性.
分析:(1)由函數(shù)f(x)在x=1處的切線垂直y軸,可得f'(1)=2+a=0,解得a即可.
(2)函數(shù)f(x)在(1,+∞)為增函數(shù),?當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)=2x+
a
x
≥0
恒成立,通過分離參數(shù)法即可得出.
(3)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得g′(x),通過對
a
2
與1的大小關(guān)系分類討論即可得出單調(diào)性.
解答:解:(1)∵f(x)=x2+alnx,(x>0),∴f′(x)=2x+
a
x

∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線垂直y軸,
∴f'(1)=2+a=0,解得a=-2.
(2)函數(shù)f(x)在(1,+∞)為增函數(shù),
∴當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)=2x+
a
x
≥0
恒成立,
分離參數(shù)得:a≥-2x2,從而有:a≥-2.
(3)g(x)=f(x)-(a+2)x=x2-(a+2)x+alnx,
g′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(x-1)(2x-a)
x

g′(x)=0⇒x1=1,x2=
a
2
,
由于函數(shù)g(x)的定義域為(0,+∞),所以得到以下討論:
(1)當(dāng)
a
2
≤0
,即a≤0時,函數(shù)g(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增;  
(2)當(dāng)0<
a
2
<1
,即0<a<2時,函數(shù)g(x)在(0,
a
2
)
上遞增,
(
a
2
,1)
上遞減,在(1,+∞)上遞增;                                
(3)當(dāng)
a
2
=1
,即a=2時,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上遞增;                 
(4)當(dāng)
a
2
>1
,即a>2時,函數(shù)g(x)在(0,1)上遞增,在(1,
a
2
)
上遞減,在(
a
2
,+∞)
上遞增.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值分類討論的思想方法、分離參數(shù)法等基礎(chǔ)知識與基本技能,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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