Question

設(shè)平面直角坐標(biāo)系x0y中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．
求：
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，得到拋物線不過原點(diǎn)，令x=0，求出對應(yīng)y的值，確定出拋物線與y軸的交點(diǎn)，得b不為0，且拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集即可得到b的范圍；
（2）設(shè)所求圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得到關(guān)于x的方程，與已知方程為同一方程，確定出D與F，令x=0得到關(guān)于y的方程，將y=b代入表示出E，將D、E、F代入即可確定出圓C的方程．

解答：解：（1）令x=0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，由題意得：b≠0且△＞0，
解得：b＜1且b≠0；
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x²+Dx+F=0這與x²+2x+b=0=0是同一個(gè)方程，故D=2，F(xiàn)=b；
令x=0得：y²+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E=-b-1，
∴圓C的方程為x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．

點(diǎn)評：此題考查了圓的一般式方程，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．