Question

（2013•肇慶二模）在△ABC中，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosB=

4

5

．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）求sin(B+

π

6

)的值；
（3）若

BA

•

BC

=20，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和，可以得出A+C=π-B，即可知cos（A+C）=cos（π-B），直接求的結果．
（2）首先根據同角三角函數的基本關系求出sinB的值，然后由兩角和與差公式求得答案．
（3）平面向量數量積的運算公式，可以得出ac=25，再由三角形的面積公式S=

1

2

acsinB求出面積．

解答：解：（1）在△ABC中，∵A+B+C=π，∴A+C=π-B（1分）
∵cosB=

4

5

，∴cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB=-

4

5

（3分）
（2）在△ABC中，∵cosB=

4

5

，∴sinB=

1-cos2B

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

（5分）
∴sin(B+

π

6

)=sinBcos

π

6

+sin

π

6

cosB=

3

5

×

3

2

+

1

2

×

4

5

=

3 3 +4

10

（8分）
（3）∵

BA

•

BC

=20，即|

BA

||

BC

|cosB=20，（9分）
∴c•a×

4

5

=20，即ac=25（10分）
∴△ABC的面積S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×25×

3

5

=

15

2

（12分）

點評：本題考查了兩角差與和公式、同角三角函數的基本關系以及三角形的面積公式，熟練掌握公式是解題的關鍵，屬于中檔題．