Question

一個圓的圓心為橢圓的右焦點，且該圓過橢圓的中心交橢圓于P，直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點）是該圓的切線，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意思可得：點P是切點，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．所以∠PF₁F₂=30°，所以．根據橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．進而得到答案．
解答：解：設F₂為橢圓的右焦點
由題意可得：圓與橢圓交于P，并且直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點）是該圓的切線，
所以點P是切點，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因為F₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以．
根據橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=，所以e=．
故選D．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握直線與圓的相切問題，以即橢圓的定義．