Question

若斜率為2的動直線l與拋物線x²=4y相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點．
（1）求線段AB中點P的軌跡方程；
（2）若

OA

•

OB

≤60，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把直線l的方程與拋物線的方程聯立，求出點A、B之間的等量關系，再利用中點坐標公式即可求線段AB中點P的軌跡方程；（注意范圍的限制）
（2）先利用（1）中求出的點A、B之間的等量關系，直接代入

OA

•

OB

≤60，即可求直線l在y軸上截距的取值范圍．（注意范圍的限制）

解答：解：（1）設l的方程為y=2x+b，l與C的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
點P（x，y），由

x2=4y y=2x+b

?x2-8x-4b=0，（2分）
得

△=(-8)2+4×4b＞0 x1+x2=8 x1x2=-4b

，依題意，

b＞-4 x= x1+x2 2 =4 y=2× x1+x2 2 +b=b+8＞4

（4分）
故所求的軌跡方程為x=4（y＞4）．（7分）
（2）由（1）知x1x2=-4b，y1y2=

x 2 1 x 2 2

16

=b2，（2分）
由

OA

•

OB

≤60得x₁x₂+y₁y₂=-4b+b²≤60（4分）
解得-6≤b≤10（6分）注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10．（7分）

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，向量的應用以及軌跡方程的求法，是對知識的綜合考查，屬于中檔題目．在研究直線與圓錐曲線的位置關系時，一般常把直線與圓錐曲線方程聯立，易錯點在于忘記限制對應判別式．