【題目】已知函數
，
.
（1）若
在
處取得極值，求實數
的值；
（2）對任意實數
，都有
，求實數的取值范圍；
（3）當
時，證明：存在唯一
，使得
，且
.
【答案】（1）1;（2）
;（3）證明見解析.
【解析】
（1）先求導數，利用極值點處的導數值為零可求實數
的值，注意進行驗證；
（2）分離參數，
，只需要求解
的最大值即可；
（3）先利用函數單調性及邊界值的符號證明存在性和唯一性，再構造函數結合單調性證明
.
（1）
，因為
在
處取得極值，所以
，
解得
；此時
，當
時，
，
為增函數；
當
時，
，為減函數；所以在處取得極小值.
故.
（2）因為對任意實數
，都有
，所以；
令，則
，
當
時，
，
為增函數；當
時，
，為減函數；
所以有最大值
，所以
，即實數的取值范圍是.
（3）①先證明存在性和唯一性；
由
得
，
當
時，；當
時，；
所以在
單調遞減，在
單調遞增；
，
，
令
，則
，
所以存在唯一的
使得
.
由（2）知，
在
遞減，在
上遞增，
因為
，
時，
，所以存在唯一的
使得
.
②欲證，只需證明
；
因為
，且
，即證
，
，即證
，
由于
在
單調遞減，且時，
，所以，
所以.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知由樣本數據點集合
，求得的回歸直線方程為
，且
，現發現兩個數據點
和
誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（ ）
A.變量x與y具有正相關關系B.去除后的回歸方程為
C.去除后y的估計值增加速度變快D.去除后相應于樣本點
的殘差為0.05
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產的某種產品被檢測出其中一項質量指標存在問題. 該企業為了檢查生產該產品的甲、乙兩條流水線的生產情況，隨機地從這兩條流水線上生產的大量產品中各抽取
件產品作為樣本，測出它們的這一項質量指標值.若該項質量指標值落在
內，則為合格品，否則為不合格品.表 1是甲流水線樣本的頻數分布表，如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
表1 甲流水線樣本的頻數分布表
質量指標值 | 頻數 |
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|
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（1）若將頻率視為概率，某個月內甲、乙兩條流水線均生產了
萬件產品，則甲、乙兩條流水線分別生產出不合格品約多少件？
（2）在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機抽取兩件，求兩件不合格品的質量指標值均偏大的概率；
（3）根據已知條件完成下面
列聯表，并判斷在犯錯誤概率不超過
的前提下能否認為“該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關”？
甲生產線 | 乙生產線 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
附：
（其中
為樣本容量）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網絡平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數據，并將這100個數據按學時數，客戶性別等進行統計，整理得到如表：
學時數 |
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|
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男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根據上表估計男性客戶購買該課程學時數的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留小數點后兩位）；
（2）從這100位客戶中，對購買該課程學時數在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數都不低于15的概率．
（3）將購買該課程達到25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據已知條件完成以下
列聯表，并判斷是否有99．9%的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關？
非十分愛好該課程者 | 十分愛好該課程者 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經濟”，以餐飲業為例，當外面太冷時，不少人都會選擇叫外賣上門，外賣商家的訂單就會增加，下表是某餐飲店從外賣數據中抽取的5天的日平均氣溫與外賣訂單數.
（Ⅰ）經過數據分析，一天內平均氣溫
與該店外賣訂單數
（份）成線性相關關系，試建立關于
的回歸方程，并預測氣溫為
時該店的外賣訂單數（結果四舍五入保留整數）；
（Ⅱ）天氣預報預測未來一周內（七天），有3天日平均氣溫不高于
，若把這7天的預測數據當成真實數據，則從這7天任意選取2天，求恰有1天外賣訂單數不低于160份的概率.
附注：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，
，
，
，
，異面直線PA和CD所成角等于60°.
（1）求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小：
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角A-BE-D的余弦值為
？若存在，指出點E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第三屆移動互聯創新大賽，于2017年3月～10月期間舉行，為了選出優秀選手，某高校先在計算機科學系選出一種子選手
，再從全校征集出3位志愿者分別與
進行一場技術對抗賽，根據以往經驗， 
與這三位志愿者進行比賽一場獲勝的概率分別為
，且各場輸贏互不影響.
（1）求甲恰好獲勝兩場的概率；
（2）求甲獲勝場數的分布列與數學期望.
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