Question

已知函數.

（1）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（2）設，若函數存在兩個零點，且實數滿足，問：函數在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在處的切線不能平行于軸．

【解析】

試題分析：（1）函數在定義域內為增函數，則其導數恒大于等于0.求導得：

.由得：.要恒成立，只需即可.接下來利用重要不等式可求出的最小值.

由題意，知恒成立，即．

（2）本題屬探索性問題.對探索性問題，常用的方法是假設成立，然后利用題設試著去求相關的量.若能求出來，則成立；若無解，則不成立.

在本題中，總的方向如下：首先假設在的切線平行于軸，則是的極值點，故有.又函數存在兩個零點，所以，再加上，這樣有4個方程（4個未知數).接下來就試著求.若能求出，則切線能平行于軸（同時也就求出了該切線方程）；若不能求出，則切線不能平行于軸.

試題解析：（1）

由題意，知恒成立，即．

又，當且僅當時等號成立．

故，所以． 

（2）將求導得：.

存在兩個零點，所以.

設在的切線平行于軸，則.

結合題意，有，

①—②得

所以由④得

所以           ……………………………………⑤

設，⑤式變為

設，

所以函數在上單調遞增，

因此，，即

也就是，，此式與⑤矛盾．所以在處的切線不能平行于軸.

考點：1、函數的單調性；2、函數的零點；3、函數的導數及其應用.