Question

已知曲線C上的動點M到y軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設PQ、RS的中點分別為A、B，若，求最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得？若存在，求出P的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據拋物線定義可知曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，進而可得拋物線的方程．
（II）設l_PQ：y=k（x-1），代入拋物線消去y，得到一元二次方程，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而可得點A的坐標，根據，可知PQ⊥RS，進而可得的表達式，進而可知當k=±1時最小值．答案可得．
（III）根據推斷出，進而可知即A，T，B三點共線由（II）可得直線AB的方程整理得（1-k²）y=k（x-3）進而可知直線AB過定點（3，0）．
解答：解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，其方程為y²=4x
（II）設l_PQ：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由韋達定理
∴，
∴∵，
∴PQ⊥RS只要將A點坐標中的k換成，得B（1+2k²，-2k）
∴=（當且僅當k=±1時取“=”）
所以，最小時，弦PQ、RS所在直線的方程為y=±（x-1），
即x+y-1=0或x-y-1=0
（III）∵，
即A，T，B三點共線
∴是否存在一定點T，使得，
即探求直線AB是否過定點
由（II）知，直線AB的方程為
即（1-k²）y=k（x-3），
∴直線AB過定點（3，0）
故存在一定點T（3，0），
使得．
點評：本題主要考查拋物線的應用．考查了綜合運用所學知識和運算的能力．