Question

已知函數(shù)f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g(x)=f(x+

π

3

)，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

為y=2sin（

x

2

+

π

3

），
（Ⅰ）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（Ⅱ）求出g(x)=f(x+

π

3

)的表達(dá)式．然后判斷出奇偶性即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．
當(dāng)sin（

x

2

+

π

3

）=-1時(shí)，f（x）取得最小值-2；
當(dāng)sin（

x

2

+

π

3

）=1時(shí)，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）g（x）是偶函數(shù)．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

），
又g(x)=f(x+

π

3

)，
∴g（x）=2sin[

1

2

（x+

π

3

）+

π

3

]
=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

．
∵g（-x）=2cos（-

x

2

）=2cos

x

2

=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，三角函數(shù)的奇偶性的判斷，常考題型．