Question

若函數y=f（x）（x∈R⁺）同時滿足：①對一切正數x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），則f（100）=則方程f（x）=f（100）的解的最小值為

46

．

Answer 1

分析：f（100）=3f（

100

3

）=3f（3×

100

9

）=9f（

100

9

）=…=81f（

100

81

），由此猜想f（x）=3nf(

x

3n

)，由

100

81

∈[1，3]，知81f(

100

81

)=81•[1-|

100

81

-2|]=19，f（100）=19，由此能求出方程f（x）=f（100）解的最小值．

解答：解：f（100）=3f（

100

3

）=3f（3×

100

9

）=9f（

100

9

）=…=81f（

100

81

），
由此猜想f（x）=3nf(

x

3n

)，
∵

100

81

∈[1，3]，∴81f(

100

81

)=81•[1-|

100

81

-2|]=19，
∴f（100）=19，
由f（x）=19，知3nf(

x

3n

)=19，
當1≤

x

3n

≤3，即3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹時，3nf(

x

3n

)=19可化為3n[1-|

x

3n

-2|]=19，
即3ⁿ-|2•3ⁿ-x|=19，x=19+3ⁿ，或x=3ⁿ⁺¹-19，
又3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹，則n≥3，
當n=3時，x=19+27=46，

46

27

∈[1，3]，或x=62，

62

27

∈[1，3]，
故方程f（x）=f（100）解的最小值為46．

點評：本題考查歸納推理的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意抽象函數的性質及其應用．